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加工中心双悬浮系统支持向量机 毩阶逆解耦时变滑模控制

http://www.b2b.hc360.com 中国金属加工网 信息来源:互联网发布时间:2019年06月10日浏览:7

  0引言

  随着科学技术的发展,人们对零件加工精度的要求也越来越高。传统的龙门移动数控机床移动横梁与导轨完全接触存在着摩擦,即使加入润滑剂也不能完全消除摩擦影响。为了消除摩擦的影响,利用两个电磁悬浮系统将移动横梁悬浮起来,可提高加工精度。由于两个电磁悬浮系统控制同一个移动机械横梁,所以它们之间存在着一定的耦合关系,即当横梁倾斜或旋转时,两个电磁悬浮系统的悬浮气隙会同时发生变化,从而两个电磁悬浮系统的电磁力和其他参数也会受到影响。以往的文献忽略了两个电磁悬浮系统的关系,只是通过设计良好的同步控制器来减小两个电磁悬浮系统的同步误差[1]。耦合的存在会降低工件的加工精度,从而降低系统的稳定性。

  针对两个系统存在的耦合关系,本文采用毩阶逆系统解耦控制方法消除耦合对系统稳定悬浮的影响,其原理为:将原系统的毩阶逆系统与原系统串联就可将双电磁耦合悬浮系统解耦成两个独立的SISO系统,并可将独立的系统简化为伪线性系统,降低SISO系统控制器的设计难度[2]。逆系统解耦方法需要被控对象数学模型精确可知,但在工程实践中很难做到,而且非线性被控对象复杂多变,所以逆系统模型就更加难以建立了。支持向量机(SVM)的出现为解决非线性系统的逆系统建模难的问题提供了一种有效的方法。支持向量机可以逼近任意非线性函数,这为其用于对系统的辨识提供了理论依据[3-4]

  本文在分析了龙门数控加工中心双电磁悬浮系统耦合情况的基础上,证明了系统的可逆性。由于被控系统的精确数学模型难以建立,所以利用支持向量机可以逼近任意非线性函数的特点,可辨识出被控系统的毩阶逆系统。得到的逆系统与被控对象串联构成伪线性系统,从而将MIMO系统解耦成多个SISO。解耦后的单系统采用专家PID闭环控制,增加了悬浮系统的快速性和鲁棒性。仿真实验表明,支持向量机毩阶逆系统可以很好地解决系统的耦合问题。


  1 双电磁悬浮系统耦合数学模型

  1.1单电磁悬浮系统数学模型

  图1为龙门移动数控加工中心机械结构图。

加工中心双悬浮系统(图1).jpg

  1.主轴单元2.悬浮气隙3.箱式横梁4.X方向直线电机5.导向单元6.伺服单元7.悬浮电磁铁8.切削刀具

  图1双悬浮系统数控机床部分结构图

  从图1可以看出,移动横梁由两个电磁悬浮系统共同悬浮,为了分析得出两个电悬浮系统之间的耦合关系,首先需要从建立单电磁悬浮系统数学模型开始。图2为单电磁悬浮系统结构图,图中,φ1为漏磁通;φm为气隙磁通。

加工中心双悬浮系统(图2).jpg

图2-单电磁悬浮系统结构图


  由文献[1]得单电磁悬浮系统数学表达式为

加工1.jpg

  式中,c(t)为气隙高度;F(i,c)为电磁力;Fd为外部干扰;m为横梁的质量;i(t)、u(t)分别为控制电流和电压;μ0为真空磁导率,μ0=4π10-7;A为铁芯面积;N为线圈匝数;R为有效的气隙磁阻。

  由式(1)可以看出,电磁悬浮系统由运动方程、电磁力方程和电压方程组成,其中电磁力与电流的平方成正比,与悬浮气隙的平方成反比,因此电磁悬浮系统是典型的非线性系统。

  1.2横梁双悬浮系统耦合分析

  双电磁悬浮系统耦合示意图见图3,图3中,c1、c2、f1、f2、l、θ分别为两个电磁铁的传感器位移、两个电磁铁的电磁力、横梁的一半长度和横梁旋转的角度。

  其中,转动角:

加工2.jpg

竖直方向上的位移:

加工3.jpg

旋转方向上位移:

加工4.jpg

由式(3)、式(4)得

加工5.jpg

竖直方向上的合力:

加工6.jpg

质心运动动力学方程和绕质心转动动力学方程分别为

加工7-8.jpg

加工8.jpg为等效质量,其中I为横梁绕转动质心o的惯性转矩,则式(8)可 重写为

加工9.jpg

经过力的坐标与传感器中坐标之间的变换及式(7)、式(9)得加速度与力的关系为

加工10.jpg

式(10)表明两个电磁悬浮系统的加速度存在着耦合关系。


  2 双电悬浮系统可逆性分析

  取状态变量X=(x1,x2,x3,x4)T=(c1,c·1,c2,c·2)T,令输入变量为U=(u1,u2)T,输出Y=(y1,y2)T=(c1,c2)T。

  根据式(1)可以得出电磁力与电压之间的关系为

加工11.jpg

  式中,l0为电磁力系数;i1、i2为双电磁铁线圈的控制电流;u0为真空磁导率。

  通过式(1)和式(10)可以得出系统状态方程如下:

加工12.jpg

计算输出变量对时间的导数可以得到:

加工13.jpg

  将式(11)代入式(13),式(13)会直接变为输入变量为u1、u2的方程组。

  Jacobi矩阵

加工14.jpg

将y-1、y-2代入Jacobi矩阵中得到rankJ=2,J为非奇异矩阵,即可逆矩阵。系统的相对阶数α=(α1,α2)=(2,2),即毩1+α2=2+2=4,rankJ<α1+α2,所以系统毩阶逆系统存在。双电磁悬浮系统的毩阶逆系统解析形式为

加工15.jpg


  3 双悬浮系统支持向量机α阶逆解耦

  对于耦合的双电磁悬浮系统,可采用α阶逆系统方法进行解耦,其基本思想为:将建立的MIMO被控系统的毩阶逆系统串联在原系统前构成伪线性复合系统,原系统会被解耦成多个独立的SISO系统,并且独立系统具有线性传递性质,即伪线性系统。解耦后的独立子系统可以采用线性控制方法,简化了系统的结构,适合于工程实践。

  α阶逆系统定义:设系统IIα具有u=θ-α映射关系的p输入、q输出的系统,其中,θα为系统映射关系的算子,输入φ=(φ12,…,φp)T为初值,满足于系统毑初始条件任意给定的可微函数向量,输出u(t)=(u11,u12,…,u1q)T,假设取φ=y(α)d(t),α(t)=(α12,…,αp)T,φ为yd的α阶导数,且算子满足下式:

加工15-1.jpg

  则称系统IIα为∑系统的逆系统。

  逆系统方法的实现必须满足两个条件:第一,被控对象数学模型精确可知,第二,非线性模型的逆必须求解出来。非线性模型复杂多变,逆系统模型不易求出。由于支持向量机具有逼近任意非线性函数的功能且具有风险函数最小化的特点,

  因此本文采用支持向量机来逼近双电磁悬浮系统的毩阶逆系统来达到对耦合系统进行解耦的目的。其基本原理为:通过非线性内积核函数将数据从低维空间Rn映射到Hilbert高维特征空间,然后在高维空间建立一个线性回归函数,其表达形式为

加工16.jpg

  式中,w为权值;φ(x)为非线性映射;b为阈值。

  当输入样本训练集(xi,ui)时(i=1,2,…,j),其中,xi为悬浮气隙采集点,ui为依据结构风险最小化原理,则支持向量机回归学习最优逼近应使得风险函数最小:

加工17.jpg

  式中,C为惩罚参数;ζj、ζ*j为松弛因子,当划分有误差时,ζj、ζj*都大于0,当误差不存在时,ζj、ζ*j取0。

  通过引用对偶定理、拉格朗日函数及核函数,将式(17)等价为如下凸二次规划问题:

加工18.jpg

其中,α*m、αm为回归函数的参数;yi为数据样本的输出;ε为不敏感损失函数参数;φ(xi).φ(xm)通过核函数求得。

通过求解式(18)凸二次规划问题求出非线性回归函数的参数α*i和αi。阈值b通过下式训练得出:

加工19.jpg

最后可以构造非线性回归函数[5-6]如下:

加工20.jpg

支持向量机拟合α阶逆系统流程如图4所示。

加工中心双悬浮系统(图4).jpg

图4-支持向量机拟合毩阶逆系统流程


  4 时变滑模变结构控制

  本文设计了时变滑模变结构控制器对解耦后的单悬浮系统进行控制。时变滑模变结构改进了滑模变结构控制或其改进方法在系统的状态变量未到达设定的滑模面之前无法实现的不足,使系统在任意初始状态下的状态变量都能直接到达系统的滑模面上,取消了状态变量到达滑模面的过程,以最短的时间实现滑模变结构控制,实现对参数摄动和外部干扰的全局鲁棒性[7]。时变滑模变结构控制器设计如下:

  由式(1)可知,该磁悬浮系统是一个典型的非线性系统,为设计方便,可以通过相应的坐标变换,将其变换为仿射型非线性系统。

  为此,选取x=(c,c·,i)T作为状态变量,并设k=毺0AN2/4,L=2k/c,i为控制电流,输出y=c,则可得到系统的非线性状态空间方程:

加工21.jpg

  设位置指令为r,选取位置误差z1、速度误差z2、加速度误差z3为状态变量,则误差表达式可表示为

加工22.jpg

  因此可得到新坐标系下的磁悬浮系统仿射非线性模型表达式:

加工23.jpg

  为了讨论问题方便,这里作如下假设。

  (1)φ(z,t)和d(z,t)满足:

加工24-25.jpg

  (2)b(z,t)满足:

加工26.jpg

  时变滑模面可设计为

加工28.jpg

  其中,f(t)是为了达到全局性而设计的函数,z为选取的位置指令,zi为误差变量,且f(t)满足以下三个条件:加工28.jpg28-1.jpg具有一阶导数。其中条件栙中的ai为滑模面参数,zi0为zi初始值,保证了系统在初始状态时就处于滑模面上;条件栚保证了系统的渐近稳定性;条件栛保证了滑模运动的存在。同时根据条件栚渐近稳定性求解微分方程得到:

加工28.jpg

  根据上述时变滑模面选取原则,悬浮系统的时变滑模面设计为

加工29.jpg

  式中,r0、c0、r·0、c·0分别为r·0和c··0分别为r、c、r·、c·、r·和c··的初始值。

  时变滑模变结构控制律由线性控制和切换控制两部分组成,即ud=uc+uvss。其中,线性控制律为

加工30-31.jpg

  式中,kc为正的常数。

切换控制律为

加工32.jpg

  其中,λ为严格正常数,氁0为约束函数,式(32)中的增益项ξs满足如下条件:

加工33.jpg

  通过定义李雅普诺夫函数加工33-1.jpg判断V是否小于0,以此证明时变滑模变结构控制律是否稳定。


  5 仿真实验

  双电磁悬浮系统参数如下:悬浮横梁质量m=568kg;等效质量mθ=0.79kg;铁芯面积A=0.0125m2;电磁铁绕组匝数N=340;电阻R=0.65毟;期望悬浮气隙c=0.002m。本支持向量机核函数选择高斯函数,高斯核函数第一个参数v=0.05,第二个参数w=0.01。惩罚因子C=0.6,不敏感损失函数参数毰=0.02,时变滑模控制器的参数a1=300,a2=30,a3=1,k=3000,λ=10。仿真系统见图5。其中封装的双电磁悬浮系统见图6。

加工中心双悬浮系统(图6).jpg

图6-双电磁悬浮系统仿真框图

  对单悬浮系统施加1000N干扰双电磁悬浮系统PID控制仿真结果见图7。

加工中心双悬浮系统(图7).jpg

图7-双电磁悬浮系统未解耦PID 控制仿真曲线

  由图7可得,单电磁悬浮系统受到干扰时另一个系统也会受到影响,这说明两个电磁悬浮系统存在明显的耦合关系。

加工中心双悬浮系统(图8).jpg

图8-支持向量机α阶逆解耦PID 控制仿真曲线

  图8表明支持向量机毩阶逆系统解耦控制可以很好地使两个耦合的电磁悬浮系统解耦成两个独立的系统互不干扰。图9表明时变滑模变结构控制较PID控制具有响应速度快、超调小、鲁棒性强的特点。

加工中心双悬浮系统(图9).jpg

图9-支持向量机α阶逆解耦时变滑模变结构仿真曲线

  6 结语

  本文对龙门双电磁悬浮系统耦合情况进行了分析,得出了两个电磁悬浮系统的耦合关系,通过可逆性分析,证明了耦合双电磁悬浮系统是可逆的。为了使耦合的双电磁悬浮系统解耦出两个独立的单系统,本文采用α阶逆系统对耦合系统进行解耦。由于非线电磁悬浮系统的α阶逆系统的精确模型不易得出,因此本文采用支持向量机逼近双电磁悬浮系统的α阶逆系统。解耦后的独立伪线性系统采用时变滑模变结构控制。仿真结果表明,支持向量机α阶逆系统具有很好的解耦控制效果,使两个悬浮系统互不干扰;时变滑模变结构控制的独立伪线性系统具有响应速度快、鲁棒性强的特点。

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