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基于混合威布尔分布的加工中心可靠性评估

http://www.b2b.hc360.com 中国金属加工网 信息来源:互联网发布时间:2019年06月10日浏览:16

  引言

  威布尔分布是可靠性评估常用的模型,一般用于建模具有单一故障模式的故障数据,但加工中心是复杂的机械系统,其包含着众多的零部件,每个系统故障可能是在多种故障机制共同作用下发生的,其故障数据在威布尔概率纸上表现为曲线,如果用原始的威布尔分布曲线来描述,会出现较大的误差[1]。利用各种改进的威布尔模型可以较好地解决这类问题,如混合威布尔分布[2,3]

  混合Weibull分布应用的一个难点是参数估计问题。常用来进行参数估计的方法有作图法、回归分析法、矩估计法、最小二乘法、极大似然估计法(maximum likelihoodestimation,MLE)[4~6]等。在实际应用中,极大似然估计是最常用的方法,也是最重要的方法。但应用极大似然估计等传统方法来进行混合Weibull模型参数估计,一般要求解联立超越方程组,相当复杂。另外,在小子样故障数据的情况下,极大似然估计的结果可能会产生比较大的偏差[7,8]。文献[9]采用混合威布尔分布描述了FIAT汽车零部件可靠性及其故障发生规律,并且用极大似然方法估计其分布参数,但可以看到,其故障数据为大样本故障数据。文献[10]采用非线性的最小二乘法求解混合威布尔模型的各参数,其结果依赖于参数初值,对于两个子分布数据融合度比较大时,其结果精度不高。

  基于贝叶斯(Bayes)理论的可靠性评估方法综合了验前信息和样本信息,是解决小子样故障数据较好的一种方法[11]。Bayes理论的基本原理是利用验前分布和样本信息来计算后验分布,从而估算变量的点估计和置信区间,并进一步推导其他相关可靠性特征量的估计值。很多文献将Bayes应用到单威布尔分布的参数求解中,并取得了很好的效果,但由于混合威布尔分布存在两个子分布,用同一组历史故障数据不可能求出两个先验分布的参数值,这是将Bayes应用到混合威布尔分布中的第一个难点;混合威布尔分布无共轭先验分布,将Bayes理论应用到混合威布尔分布参数求解时会产生很大的计算量,这是将Bayes应用到混合威布尔分布中的第二个难点。文献[12]将Bayes方法应用于具有共轭先验分布的混合指数分布的参数求解中,使得其计算量大大降低,而在复杂机械系统中,混合威布尔分布是比混合指数分布更常用的一种模型;另外,文献[12]在确定先验分布各参数时,通过专家经验法直接确定各先验分布的参数值,先验信息的的可靠性与否很大程度上决定了参数后验估计值的精确程度[13]。因此,经验法确定先验分布失去了Bayes估计充分利用、挖掘先验信息的优势,引入了人为不确定因素。

  针对上述问题,本文给出了一种将Bayes理论应用于混合威布尔分布的方法。该方法首先通过故障特征属性的概念,用模糊聚类的方法将可靠性实验样本故障数据分为两个子样本,以作为混合威布尔分布中的两个子故障数据;然后通过各子故障的大量历史故障数据,确定混合威布尔分布的两个形状参数,并将混合威布尔分布转换为具有共轭先验分布的混合指数分布;再通过各子故障数据的大量历史故障数据求得混合指数分布的Bayes先验分布,利用Bayes方法得到混合指数分布的后验分布,并求得其混合指数分布的参数值;最后将其还原为混合威布尔分布的各参数值,求得加工中心的可靠性评估结果。


  1混合威布尔分布转换为混合指数分布

  两重混合威布尔分布的概率密度函数为:

1.jpg

  式中:p为子分布的权重;f1(t)和f2(t)分别为每个子分布的概率密度函数,可表示为

2.jpg

  式中:ηii>0)为尺度参数,βii>0)为形状参数。

  威布尔分布的累计分布函数是在时间ts上对概率密度的积分:

3.jpg

  令z=tβi,则dz=βitβi-1,那么

4.jpg

  令5.jpg,则

6.jpg

  该分布即为指数分布的累计分布函数,其密度函数为

9.jpg

  式中:x=tβi

  由以上推导可知,混合威布尔分布的两个形状参数βi(i=1,2)可将混合威布尔分布转换为混合指数分布。分布的概率密度函数为

8.jpg

  形状参数β可根据验前数据计算或由专家经验确定其估计值,对于故障机制相同的故障数据,其威布尔分布参数β在理论上是一致的[1,14]。因此,为将混合威布尔分布转换为具有共轭先验分布的混合指数分布,减少计算工作量,本文对小子样的可靠性实验故障数据进行模糊聚类分析,将故障数据按照故障机制相似性分为两类,分别对应混合威布尔分布的两个子分部,然后利用同类别的大量历史故障数据即可求得混合威布尔分布的两个形状参数β,得到形状参数后便可将混合威布尔分布转换为混合指数分布。


  2基于故障特征属性的故障数据模糊聚类分析

  本文以13台某型号卧式加工中心定时截尾实验数据进行评估,截尾时间t =1000h,截尾时间内共有9台加工中心出现故障,故障集F={刀库乱刀,刀具外部冷却故障,主轴换刀故障,主轴振动异响,Y轴换刀不到位,Y轴振动异响,B轴回转精度降低,托架交换速度过快,托架交换停止},故障时间为T={165,207,254,307,366,436,511,591,778}。为将故障数据划分为两类具有相似故障机制的子故障数据,本文提出故障特征属性的概念,通过故障树分析(failuretreeanalysis,FTA)建立故障的故障特征属性集合,并根据各故障特征属性与故障应力的关系,得出各故障对故障应力的评价值,以此作为故障信息序列,进行模糊聚类分析,将故障数据进行分类,得到具有相似故障机制的两个子故障数据。

  2.1故障特征属性和故障信息序列

  故障通常采用故障应力、故障机制和故障模式来表征。故障应力是引起故障的物理条件,一般来说数控机床所有的零件都是处在多种应力存在的复杂物理环境中的,因此故障的发生也是多应力共同作用的结果;故障机制是故障应力发生作用,直至引起故障的动态或静态过程;故障模式是作为故障机制的结果而产生的故障状态及现象,也是加工中心使用现场所记录的主要故障信息。由于机械系统的复杂性,这三要素间往往存在多种组合关系,如图1所示。对故障机制影响最大的因素是故障应力,相同的故障应力作用过程相似。

基于混合威布尔分布(图1).jpg

图1-故障应力,故障机制与故障模式的相互关系

  本文采用故障应力的相似性表征故障机制的相似性,用各个故障对加工中心工作时存在的所有故障应力的模糊评判结果作为故障信息序列,进而通过模糊聚类的方法,实现故障数据的聚类。建立故障信息序列的过程也就是分析不同的故障与所有故障应力之间关系的过程。为表征故障的特性,以便于深入分析故障与故障应力的关系,本文定义故障特征属性的概念如下:

  故障特征属性是导致故障发生的随机故障事件或最小随机故障事件的集合。

  随机故障事件是在故障应力作用下发生的,具有一定随机性的事件,其发生不依赖于其他故障事件,但会导致其他故障事件的发生,因此随机故障事件也就是故障树分析中的底事件,而故障特征属性就是故障树的最小割集。每个最小割集中表示一个随机故障事件,随机故障事件的发生导致系统故障的发生,因此随机故障事件是故障应力作用的直接对象,是故障机制的发生载体,故以随机故障事件表征系统故障能更容易得

  到系统故障与故障应力之间的关系。

  Fp(p=1,2,…,n)表示第p个系统故障,以Fp为顶事件进行FTA分析,得到n个导致故障Fp发生的最小割集fp1,fp2,…,fpn。

  以最小割集作为故障Fp的故障特征属性,则故障Fp表示为Fp=(fp1,fp2,…,fpn)。系统故障的故障特征属性集合与系统故障应力集合S={s1,s2,…,sm}之间关系的建立是通过模糊评判的方法实现。

  首先建立故障特征属性与故障应力之间的模糊关系;然后求得系统故障对各故障特征属性的评判值,并以其作为故障特征属性的权重;最后通过模糊推理得到系统故障对故障应力的评判值,即故障信息序列。

  利用专家知识,通过二元对比排序法得到故障特征属性和故障应力之间的模糊关系矩阵为

10.jpg

  式中:rij表示故障Fp的第i个元故障fpi与故障应力sj的模糊关系,即故障应力与故障时间之间的激发关系。

同样,利用专家打分的方式得到故障特征属性的评价值,用于表征各最小故障事件发生的可能性,以及在评价故障应力时所占的权重。

11.jpg

  根据模糊变换原理,由各故障特征属性的权重值和建立的模糊关系矩阵可得故障信息序列为

12.jpg

  现以刀库乱刀故障F1为例进行具体分析。对刀库乱刀故障进行FTA分析,得到故障F1的故障特征表示为F1={液压缸流量不足、液压马达流量过大、电气参数设置错误、刀具参数设置错误、计数开关坏、刀库原点开关坏}。加工中心是复杂的机电液一体化的复杂系统,存在着多种内在的、外在的、人为的、偶然的影响机床正常运转,导致故障发生的应力。为全面考察各故障机制的相似性,本文采用包括系统错误、偶然因素等在内的广义应力,系统故障应力集合S={工作负载、振动、温度、系统错误、偶然因素、油液清洁度}。

  故障F1与故障应力的模糊关系矩阵建立,通过专家打分的方式得到故障特征属性与故障应力的评分如表1所示。

13.jpg

  由此,可得模糊关系矩阵为:

14.jpg

由专家知识给出故障特征属性权重向量为

15.jpg

根据式(8)可得故障F1的故障信息序列为

16.jpg

同理,可以求得故障集合F中其他故障的故障信息序列B2,B3,…,B9。


  2.2故障数据的模糊聚类分析

  以故障信息序列表征故障,则聚类对象为故障信息序列集合{B1,B2,…,Bn},其中每个对象Bi由一组数据(bi1,bi2,…,bim)组成。根据故障信息的相似度建立模糊相似矩阵A=(aij)n×n,其中aij表示故障Bi与Bj的相似度,其计算公式为

17.jpg

  式中18.jpg

  用上述方法建立的模糊关系A,一般只具有自反性与对称性,不满足传递性,所以需要求解模糊矩阵的传递闭包t(A)[15,16]。从传递矩阵A出发,利用平方法,依次计算A→A2→A4→…→Ak,直至首次发现Ak=Ak,Ak就是A的传递闭包t(A),计算方法如式(9)所示。

19.jpg

  式中20.jpg

21.jpg

从而实现了对故障,亦即对故障时间的聚类分析。根据以上步骤可知,对应于混合威布尔分布模型中两个子分布的故障数据分别为T1={165,207,254,366,436,591}和T2={307,511,778},由此可知该加工中心的两个子故障分别为{刀库乱刀,刀具外部冷却故障,主轴换刀故障,Y轴换刀不到位,Y轴振动异响,托架交换速度过快}和{主轴震动异响,B轴回转精度降低,托盘交换停止}。

  然后通过各子故障的大量历史故障数据用最小二乘法可求得各子分布的形状参数分别为

22.jpg

  至此可将混合威布尔分布转换为具有共轭先验分布的混合指数分布

23.jpg


  3混合指数分布参数的Bayes估计

  3.1 Bayes估计

  由文献[12]可知混合指数分布中的三个参数p、θ1、θ2相互独立,加权因子p∈[0,1],其先验分布为Beta分布,其密度函数为

24.jpg

  式中:Γ(.)为伽玛函数。

  对于混合指数分布的失效率参数θ1、θ2,其先验分布为伽玛分布,伽玛分布的密度函数为

  由式(11)和(12)可知混合指数分布三个参数的联合先验密度函数为

25.jpg

  由可靠性实验数据D={t1,…,tn,t*,nu}={165,207,254,307,366,436,511,591,778,1000,13,4}通过Bayes理论更新先验分布

26.jpg

  式中:f(p,θ12|D)是p、θ1和θ2的联合后验分布。样本的似然函数为

27.jpg

  此形式的似然函数无法计算后验分布密度[12],现将(pe-θ1t+(1-p)e-θ2t)u扩展为二项式,将大括号里的形式扩展为第l项为plθl(1-p)n-lθ2n-l2Σm=1Cnle-θ1Σtm(l)e-θ2Σtm(n-l)的形式,合并同类项,则式(15)可表示为

28.jpg

  式中:Σtm(λ)是向量集合t={t1,…,tn}的第m次置换的总和。例如,当n=4,ι=2时,有2/4=6次置换,m取值为1~6,则

  由式(13)和(16)可得联合后验分布为

29.jpg

  34.jpg

  由以上定义可得完整的联合后验密度分布为

35.jpg

  由公式37.jpg可得

36.jpg

  3.2基于竞争威布尔模型的可靠性评估

  将子故障的大量历史故障数据代入式(11)和(12)可得参数p、θ1、θ2先验分布的参数值为(α,β)=(4,3),(a1,b1)=(4,315),(a2,b2)=(3,5127),然后将可靠性实验的小子样故障数据D={t1,…,tn,t*,n,u}={165,207,254,307,366,436,511,591,778,1000,13,4}代入式(13)(17)和(18),可得到先验分布和后验分布的密度函数以及各参数的后验估计值如图2~4所示。

基于混合威布尔分布(图2).jpg

图2-参数p的先验/后验分布密度比较

基于混合威布尔分布(图3).jpg

图3-参数θ1的先验/后验分布密度比较

基于混合威布尔分布(图4).jpg

图4-参数θ2的先验/后验分布密度比较

  混合指数分布三个参数的后验估计值为

38.jpg

  由39.jpg式(10)可将θi转换为混合威布尔模型的尺度参数ηi,其值为

40.jpg

  则

41.jpg

  平均无故障时间为图5所示为用混合威布尔分布模型对具有小子样故障数据的加工中心进行可靠性评估的总体流程。


  4结束语

  本文针对复杂机械系统具有多故障模式以及小子样可靠性实验故障数据的特点,用混合威布尔分布模型和Bayes理论进行可靠性评估。为解决混合威布尔模型无共轭先验分布问题,提出故障特征属性的概念,用模糊聚类的方法实现故障数据的分类,得到混合威布尔模型的形状参数,将混合威布尔分布转换为具有共轭先验分布的混合指数分布。利用故障分类后相应的历史故障数据求解混合模型的先验分布也是本文的创新点,这提高了求解混合模型先验分布的准确性。


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