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数控机床可靠性指标的似然比检验区间估计

http://www.b2b.hc360.com 中国金属加工网 信息来源:互联网发布时间:2019年02月19日浏览:15

  0 前言

  在数控机床的可靠性评估中,多台机床现场定时截尾试验是常用的方法之一。这是因为现场数据比试验数据更能真实地反映机床的使用情况。另外,由于受经费和时间的限制,常采用多台定时截尾试验[1]。数控机床是可修产品,试验中机床的某一部位发生故障,可进行替换或修理,使其恢复正常。维修时间和故障间隔时间(Time between failures,TBF)相比较小,可忽略不计。因此,在完全维修情况下,TBF相当于不可修产品的首次故障时间,该值为随机变量,服从一定的概率分布,可作为机床可靠性评估模型。

  机床平均无故障工作时间(Mean time between failures,MTBF)、可靠度R(t)和可靠寿命t(R)等可靠性指标及可靠性评估模型参数的点估计和区间估计是数控机床可靠性评估的主要内容。但常见的数控机床可靠性评估方法,多局限于评估模型参数及可靠性指标的点估计,对于区间估计,特别是可靠性指标区间估计的报道则较少。

  事实上,区间估计有多种方法,如Fisher信息矩阵法[2-3]、Beta二项式法[4]、Bayes方法[5-6]等。其中,文献[4]为非参数方法,该方法不受概率分布的限制,其余均为参数方法,即其评估模型为某一概率分布。然而,LLOYD等[7-8]指出,对于少样本数据,Fisher信息估计过于乐观,推荐使用其他估计,如似然比估计等;MEEKER等[9-10]也认为对于区间估计,似然比检验方法优于Fisher信息矩阵法。另外,应用Fisher信息估计时,因矩阵的计算要求取二阶偏导数,所以计算量较大;Bayes方法虽适合于少样本数据,但在没有或缺少历史试验数据的情况下,试验前分布的确定是一个难点。因此,鉴于上述原因,本文采用似然比估计方法。


  1 似然比检验区间估计

  似然比检验最早由LAWLESS[11]提出,广泛应用于各种故障数据统计分布的区间估计[12-16],该理论认为待估参数θ1、θ2的似然函数L(θ1,θ2)与其最大似然函数L(θ1,θ2)比值的自然对数的负2倍渐近于置信水平为α、自由度为1的卡方分布χ2α,1,即

1.png

  式(1)可改写为

2.png

  设t为故障时间,ts为故障间隔时间。考察对象为k台机床,第j台机床的观察开始时间为t0,j,结束时间为Tj(j=1,2,…,k),其故障时间为t1,j,t2,j,…,,,tnjj,Tj,相应的故障间隔时间为ts1,j,ts2,j,…,tsnjj,Tj-tnj,j。其中,故障数为nj,截尾时间为Tj。若用ti,j表示第j台机床的第i个故障时间,用tsi,j表示第i-1个和第i+1个故障间的故障间隔时间,则k台机床的故障时间可简写为ti,j,Tj(i=1,2,…,nj;j=1,2,…,k)相应的故障间隔时间为tsnjj,-tnj,j。为方便计算,定义t0,j=0。

  Weibull分布因其灵活性而被广泛应用于可靠性工程中[1,17-21]。对于单台机床,故障间隔时间为2参数Weibull分布时的概率密度函数

3.png

  式中β——形状参数,β>0

  η——尺度参数,η>0

  tsi——故障数为n的故障间隔时间

  所以,多台机床为不完全故障数据时,Weibull分布的似然函数为

4.png

  相应的对数似然函数为

5.png

  分别对式(5)各参数求偏导数,并令其为零,得参数的最大似然估计为

6.png

7.png

  得出参数的估计值后,由式(2)、(4)知参数似然方程为

8.png

  可见,当参数的最大似然估计已知时,在一定的置信水平α下,式(8)的右端为一常量。因此,在一定的范围内,对于式(8)中的某一参数,当其为一定值时,可得出另一参数与其对应,且通常情况下,其中一参数给定时,式(8)有两个根[22]与之对应。例如当参数η一定时,β有两个值β1和β2与之对应。

  下文中,其他模型参数或可靠性指标的两对应值下标标注与此类似。所以,满足式(8)的参数对组成一封闭的轮廓图,该图由上凸和下凹的两条曲线组成,其上下边界点,亦即上凸曲线的最大值和下凹曲线的最小值即为另一参数的区间估计。

  然而遗憾的是,式(8)没有解析解,可用数值迭代法解之。

  1.1 评估模型参数的似然区间估计

  在式(8)中,设

9.png

  则参数η一定时,由式(5)得β的迭代公式为

10.png

  式中β(m)——形状参数β的第m次迭代结果

  β(m+1)——形状参数β的第m+1次迭代结果

  当形状参数β的第m次迭代结果与第m+1次迭代结果相同或相近且满足迭代要求时,可得其最终结果。

  同理,参数β一定时,可得η的迭代公式为

11.png

  1.2 可靠性指标的似然区间估计

  1.2.1 平均无故障工作时间

  故障间隔时间为Weibull分布时,平均无故障工作时间可表示为

12.png

  式中,Г(·)为Gamma函数,所以

13.png

  将式(12)代入式(8)得平均无故障工作时间的置信区间似然比方程为

14.png

  经变换得平均无故障工作时间的迭代式为

15.png

  1.2.2 可靠寿命t(R)

  Weibull分布的可靠度

16.png

  所以

17.png

  代入式(8)得可靠寿命的置信区间似然比方程为

18.png

  经变换得计算可靠寿命的迭代式为

19.png

  1.2.3 可靠度R(t)

  在式(17)中,当t一定时,可得给定时间的可靠度置信区间似然比方程为

20.png

  经变换得计算可靠度的迭代式为

21.png

  2 实例分析

  文献[1]分析了10台加工中心的故障间隔时间数据(表1),认为其符合2参数Weibull分布。由式(6)得β=1.2009,η=376.9893。置信水平取0.95,则χ2α,1=3.8415,L(β,η)=6.4843×10-61。

22.png

  评估模型形状参数的区间估计结果分别如表2、图1所示。

23.png

数控机床_1.jpg

  从表2可见,该参数区间估计的计算量很大。为了减少计算量,提高迭代速度。在初步估计时,取较大计算步长(如取10,第一个值除外),当找到上凸曲线的最大值和下凹曲线的最小值时,可在最大(小)值左右两侧分别取减半区间,细化步长(如取5),重新计算,直至找到满足精度的精确估计。

数控机床_2.jpg

表2中,η的变化步长为10时,在η=400、380处得到β的最小、最大值分别为βmin=0.8014,βmax=1.6949;区间减半,步长为5,分别在η=400、380处左右两侧插入395、405及375、385时的计算值为0.8016、0.8015及1.6952、1.6933,该两组值与初步估计时的βmin=0.8014,βmax=1.6949比较,得最终最小、最大值分别为0.8014、1.6952。其中,前者未变,后者由原来的1.6949变为1.6952。至此得形状参数的区间估计结果为[0.8014,1.6952]。

  另外,当确定了上凸曲线的最大值和下凹曲线的最小值时,其后的计算可取更大的步长(如取20)或省略。表2中,尺度参数从420~580,计算步长取20。

  对于尺度参数的区间估计,在初步估计时,形状参数的计算步长取0.05,计算结果只取至整数;精确估计时计算步长取0.025,计算结果取至小数点后4位。所以,计算量进一步减小,相应的迭代速度随之提高。其结果如图2和表3所示。

24.png

25.png

  从评估模型参数的区间估计过程可见,上述方法可总结为两步区间减半法:①初步估计;②精确估计。在初步估计时,先取较大计算步长,寻找上凸曲线的最大值和下凹曲线的最小值(固定参数在轮廓曲线的左右边界处有时对应两相同根),计算结果可取粗略估计整数,无需精确计算。在第二步精确估计时,在最大(小)值左右两区间分别取减半区间或更小区间,细化步长,重新计算,直至找到满足精度的精确估计。

数控机床_3.jpg

  应用两步区间减半法,无故障工作时间的区间估计过程如图3、4所示,具体估计结果见表4。

26.png

  由表4可见,当初步估计步长取0.05时,β在0.95和1.20处得上凸和下凹曲线的最大、最小值分别为586和252;精确估计时,对于上凸曲线,应用区间减半法,在0.95左右两侧减半区间0.925和0.975处,重新计算比较后得新的最大值在0.925处且为586.63。第2次应用区间减半法后,在0.9375处得最大值为586.84,相对于第1次区间减半后的最大值586.63,其相对误差为0.0004,停止计算。下凹曲线最小值的计算与此相同。最后,由式(11)得平均无故障工作时间的点估计为354.5459。所以,由式(15)知R(354.5459)=39.50%。取可靠度为90%,则t(0.9)=57.88。应用区间减半法得参数及可靠性指标的区间评估结果如表5所示。

数控机床_4.jpg

  3 讨论

  数控机床是典型的可修产品,其无故障工作时间因受维修的影响,一般既不独立亦不同分布,其可靠性分析不同于不可修产品[23]。事实上,只有经典统计分布的普通更新过程才对应于完全维修,而维修后的机床一般处于修复如新和修复如旧两种状态之间,属于不完全维修[24]。因此,在机床可靠性分析中,应避免过多的依赖于典型统计分析方法,可用可修系统可靠性分析的广义更新过程(Generalized renewal process,GRP)方法[25-26]。本案例用GRP过程方法分析知其维修因子为零,属于完全维修。另外,在2参数、3参数Weibull分布、正态分布及对数正态分布等众多的备选分布中,2参数Weibull分布的Akaike信息准则(Akaike information criterion,AIC)值和Bayes信息准则(Bayes information criterion,BIC)值最小,分别为281.1716和283.9790[27]。由AIC、BIC信息准则知2参数Weibull分布为本案例最优分布模型。文献[1]基于Hollander拟合优度检验,亦认为本案例故障数据符合2参数Weibull分布。

27.png

  由式(8)知似然区间估计的精度与置信水平有关。表6给出了置信水平与形状参数区间估计的关系,可见随着置信水平度的增加,估计区间变大,亦即估计精度降低。

  另外,似然区间估计的精度亦与样本容量有关,其值越大,估计精度亦越高。

  由式(8)、(13)、(17)和(19)可见,对于不同的模型参数及可靠性指标,其似然方程相同,为一常量。由图1及图2知,似然比轮廓曲线为非对称图形,在横坐标上,对应上凸曲线的最大值和下凹曲线的最小值处,坐标值一般不相同。


  4 结论

  针对数控机床的故障数据通常为多台现场时间截尾少样本故障数据的特点,基于似然比检验理论,得出如下结论。

  (1)为了提高计算速度,提出了数控机床的两步区间减半似然比可靠性评估方法,该方法可经多次区间减半逼近真实值。

  (2)给出了两参数Weibull分布评估模型参数及可靠性指标的点估计和区间估计。

  (3)结果显示两步区间减半似然比可靠性评估方法可减少计算量,提高迭代速度,适用于少样本数据的可靠性分析。


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