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NURBS曲面的参数化离散及其在数控加工干涉避免中的应用

http://www.b2b.hc360.com 中国金属加工网 信息来源:互联网发布时间:2017年12月13日浏览:4

  0  引言

  自由曲面加工中, 避免刀具干涉曲面是数控编程系统必须解决的关键问题。加工过程中为避免刀具干涉曲面, 常用的方法主要有:①不考虑干涉, 直接生成加工路径, 再采用仿真软件检测刀具是否干涉, 划分干涉区域, 对干涉区域重新进行刀具路径规划;②在路径规划过程中, 计算无干涉的刀具定位, 最终直接生成无干涉的刀具轨迹。上述两种方法都需要进行刀具干涉检测, 因此干涉检测的效率和精度直接决定曲面加工路径的生成效率和刀具路径的有效性。

  刀具干涉检测的常用算法主要有两种:①离散刀具成点集, 计算离散点与曲面的几何关系 ;②离散曲面成点集, 计算离散点与刀具的几何关系。由于刀具形状规则, 故刀具离散计算简单, 但离散点到曲面的距离计算复杂, 因此, 刀具离散算法的总体计算效率较低;而采用曲面离散法, 虽然曲面离散的计算较为复杂, 但离散点到刀具的距离计算简单, 因此, 曲面离散法总体计算效率较高, 是刀具干涉检测的一种常用算法。自由曲面离散后, 如何筛选出特定离散点与刀具进行几何关系计算, 就成为无干涉刀具路径生成所直接面临的问题。常用的自由曲面离散算法是三角剖分, 曲面经离散后得到一系列的三角片及其拓扑关系, 这种拓扑关系一般不包含曲面点的参数信息, 干涉特征点的筛选困难, 因此有必要进一步研究如何实现干涉特征点的快速筛选问题。


  1 NU RBS 曲面向Bezier 曲面的转化

  非均匀有理B 样条(no n - unifo rm rationalB - spline , NU RBS)曲面作为产品数据交换的国

  际标准 , 在模具设计、反求工程中有着广泛的应用, 因此, 以此为研究对象具有较高的工程实际意义。

  直接对N URBS 曲面进行参数离散, 存在离散计算复杂且离散精度难以控制的缺陷。与之相反,Bezie r 曲面由于具有下面的两个典型性质, 其离散精度控制容易, 且N URBS 曲面可以转化成Bezier 曲面, 因此N URBS 曲面的参数化离散可通过转换成Bezier 曲面后进行。

  Bezier 曲面的两个典型性质:

  性质1 Bezier 曲面的k ×h 阶导矢曲面是以

  为控制顶点的(m - k) ×(n - h) 次Bezier 曲面,k =0 , 1 , 2 …m - 1 ;h =0 , 1 , 2 , …, n - 1 。其中, Δ1 、Δ2 分别是控制顶点Pij 在u 向、v 向的向前差分算子:

0.png

  性质2(凸包性质) Bezier 曲面位于B 网的凸包内。


  2 有理Bezier 曲面的离散

  2. 1  Bezier 曲面的离散精度定义

  Bezier 曲面的离散目的就是将Bezier 曲面的曲面片用满足离散精度要求的平面片替代。设

  Bezier 曲面的矩形曲面片为r(u , v)(a ≤ u ≤b ,c ≤v ≤d), 4 个角点分别为A =r(a , c), B =r(b ,c),C = r(b , d),D = r(a , d), 则离散平面片A′B′C′D′可构造为

1.png

  四边形ABCD 一般不是平面四边形, 而由于A′+C′=B′+D′, 四边形A′B′C′D′总是平面四边形, 它所在的平面是四边形ABCD 四边中点所确定的平面。

  Bezier 曲面离散成平面片后, 需要计算曲面片内的点到平面片的最大距离和曲面片边界到平面片边界的最大距离, 二者的最大值就是Bezier曲面的离散误差。其中, 曲面片边界到平面片边界的误差(称为边界误差)ec 定义为

2.png

  式中, sup{}为上确界;inf ‖ ‖ 为二范数的下确界。

  曲面内部点到平面片的误差(称为曲面片误差)es 定义为

0.png

  如果曲面片误差及边界误差均小于指定精度ε, 则可以用平面四边形A′B′C′D′取代该曲面片,否则该曲面片需进一步分割。

  2. 2  Bezier 曲面的线性逼近特征

  设m ×n 次有理Bezier 曲面为

0.png

  把控制顶点Rij 转化为带权控制顶点 Rij =(wij x ij , wij y ij , wij z ij , wij ), 则有理Bezier 曲面可以转化为高一维的非有理Bezier 曲面:

3.png

  此时, 非有理Bezier 曲面的点坐标均为齐次坐标,它与有理Bezier 曲面的点坐标的转换关系为

4.png

  有理Bezie r 曲面转化为高一维的非有理Bezier 曲面后, 空间向量与其对应的齐次坐标存在以下定理:

  定理1 设向量Ri 的齐次坐标为(Pi ,wi)(i =1 , 2), r 为不小于R1 、R2 之模的实数, 即

8.png

  此外, 双变量连续函数的线性逼近又存在如下定理:

  定理2 设I2w(x , y) 是C2 连续的函数w(x , y)在[ α, β;ξ, η] 上的双线性逼近, 即

9.png

  类似地,C2 连续的曲面的线性逼近也存在如下定理:

  定理3 若曲面片r(u , v)(α≤u ≤ β, ξ≤v ≤η)为C2 连续, I2 r(u, v) 为曲面片的双线性逼近, 即

10.png

  则曲面片到平面片的误差为

11.png

  2. 3  确定Bezier 曲面的离散层数

  对C2 连续的有理曲面R(u , v) =P(u , v)/w(u , v)(w(u , v) >0 , a ≤ u ≤b, c ≤v ≤d), 可用平面片L(u , v) = I2P(u , v)/ I2w(u , v)(α≤u ≤β, ξ≤v ≤η)逼近有理曲面R(u, v)(α≤u ≤β, ξ≤v ≤η)。其中, I2P(u , v)与式(6)中的r对应, I2 w(u , v) 由式(5) 计算。设(Pij ,wij )是曲面的带权控制顶点, ε>0 是预先给定的曲面离散精度,a ≤α<β ≤b , c ≤ξ<η≤d , 则有理Bezier 曲面的离散层数k 具备以下性质:

  12.png

13.png

  由此, 应用定理1 可知式(8)成立。

  2. 4 Bezier 曲面的离散

  由式(7)计算出Bezier 曲面的离散层数后, 对曲面的参数域进行等参数离散, 计算各离散节点的坐标值, 应用式(1)就可求出曲面的离散平面片集,完成满足精度要求的Bezier 曲面离散。

  上述过程中,要求大量的曲面点计算, 为进一步提高曲面的离散效率,可采用四叉树离散算法对Bezier 曲面进行预处理, 具体方式如下:

  (1)计算整个Bezier 曲面的离散层数。

  (2)对Bezier 曲面进行四叉树离散。Bezier 曲面的四叉树离散是通过对曲面控制多边形各边中点的多次插入来实现曲面分割的一种方法。以双三次Bezier 曲面为例, 设双三次Bezier 曲面R(u , v)(0 ≤u , v ≤1)由一个4 ×4 的控制点阵列Pij 生成。对控制多边形的横向和纵向各边分别进行三次中点插入, 就可得到将曲面按等参数曲线R(u , 0. 5) 和R(0. 5 , v)分割的四个子曲面片, 每个曲面片仍为双三次Bezier 曲面, 控制顶点为各边中点和曲面顶点。

  (3)计算各子曲面片的离散层数, 并将其与父曲面片的离散层数相比较, 如二者差值较大, 则转(2);反之, 转(4)。

  (4)采用等参数法依次对各子曲面片进行参数离散, 计算离散节点的曲面坐标, 采用式(1)得到各子曲面片的离散平面片集。

  应用四叉树离散算法可将曲面上较为平坦的部分分离出来。与曲面整体相比, 这部分曲面的离散层数较少, 因此可有效减小该曲面域内的曲面点计算量。

  3 曲面参数离散的干涉特征点识别

  图1 所示的NURBS 曲面经参数域内的60 次中点插入后得到图2 所示的平面片集合(平面片与曲面的最大离散误差为0. 0199mm)。图3 所示为一切削点在进行刀轴定位时, 刀具底面与局部曲面的几何关系。其中, 刀具干涉检测区域的获取方法如下:

  设切削点为Q(ui , vj), 切削进给方向为f , 比较方向为b 。沿比较方向进给步长R , 则对应参数域内的进给步长为

14.png

  Δu 、Δv 即可应用混合积求值:

  沿切削方向进给步长2R , 对应参数域内的进给步长为

15.png

  则点Q 的干涉检测范围为(ui + Δu , vj + Δv)、(ui -Δu , vj - Δv)、(ui - du - Δu , vj - dv - Δv)、(ui -du +Δu, vj - dv +Δv)四点以及曲面参数取值范围所确定的参数域。干涉检测范围所对应的曲面参数域确定后, 该参数域内曲面离散节点所对应的曲面点即为干涉特征点。由干涉特征点的空间坐标可快速得出该点与刀具的几何位置关系, 从而实现了高效确定无干涉刀轴矢量的目的。


  4 结论

  针对NURBS 曲面加工中必须解决的刀具干涉问题, 本文提出的NURBS 曲面参数离散算法在解决该问题方面主要有以下特点:①NURBS 曲面向Bezier 曲面的转化计算简单、高效;②根据离散精度获取曲面的离散层数、由离散层数获取离散曲面节点矢量的方法具有简单、精度可靠的特点;③由切削点的参数位置和刀具几何容易获取刀具的干涉检测区域, 再利用离散平面片与节点矢量相对应的性质就可直接获取干涉检测区域内空间点的坐标, 从而高效地实现刀具的干涉检测和调整。实例分析结果表明, NURBS 曲面基于参数的离散算法具有计算效率高、精度可靠的特点, 将其应用于NURBS 曲面数控加工的干涉检测, 能有效地提高无干涉刀轴矢量的确定效率。


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